브룬 상수

브룬 상수는 '쌍둥이 소수(Twin Prime)'의 역수의 합을 모두 합한 값이다. 일반적으로 브룬 상수의 이 값을 의미하며 간단히 $B$ 로 표기하기도 한다.

1919년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했는데, 이를 브룬의 정리라 부른다. 그리고, 그 수렴값을 '브룬 상수'[1] 라고 부른다.

$\displaystyle B_2 = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots = 1.9021605831...$

이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다. 만약, 이 합이 수렴하지 않고 발산했다면 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되었을 것이지만[2], 이 수는 수렴한다. 이 상수는 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않았다. 쌍둥이 소수가 유한 개뿐이라면 그 역수의 합은 유한 개의 유리수의 합이므로 유리수가 되어야 한다. 따라서 이 상수가 무리수임이 밝혀진다면 쌍둥이 소수가 무한함이 증명된다.

쌍둥이 소수와 유사한 것으로 Prime quadruplet[3] 이라는 것이 있는데, { p, p+2, p+6, p+8 } 이 모두 소수인 경우를 뜻한다. 예를 들어 {5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19} 같은 것들이 있다.

브룬은 이 prime quadruplet 의 역수들의 합도 수렴함을 보였다.

$\displaystyle B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \cdots = 0.87058838...$

구분을 위해서는 이는 $B_4$ 로 표기하며, 쌍둥이 소수의 역수의 합은 $B_2$ 로 표기한다.